专题07 矩形存在性问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题07 矩形存在性问题

1．（2021?淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．

（1）若，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；

（3）设直线与抛物线交于，两点，问是否存在点（在抛物线上），点（在抛物线的对称轴上），使得以，，，为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）（3）存在，，的坐标为或，【详解】：（1）的坐标为，

，

，

，

的坐标为，

将点代入抛物线，

得，即，

抛物线对应的函数表达式为；

（2）如图，过作轴，交于，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，，

、坐标分别为、，

设直线解析式为，

则，解得，

直线的解析式为，

设点的坐标为，，则，

，

，

，

当时，的面积最大，此时点；

（3）存在，理由如下：

直线与抛物线交于，

直线的解析式为①，

抛物线的表达式为②，

联立①②解得，或，

的坐标为，

抛物线的对称轴为直线，

点的横坐标为，

①若为边，

不妨设在轴上方，如图，过点作轴于，

设的坐标为，

，

，

，

，

解得：或（舍，

的坐标为，

由平移性质，

得：的横坐标向左平移个单位得到的横坐标，

且，

横坐标向左平移个单位，

得：到的横坐标为，

，

解得，

，，

这说明不在轴上方，而在轴下方；

②若为对角线，

设的中点为，

由中点坐标公式得，，

的坐标为，，

矩形对角线、互相平分，

也是的中点，

的横坐标为，

的坐标为，，

，

，

，

整理得：，

变形得：，

换元，令，

得：，

解得：或25，

或25，

，

，

即的坐标为，

的坐标为，

综上，即的坐标为，的坐标为或，．

2．（2021?齐齐哈尔）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．