备战2022 中考数学 人教版 专题三 开放探索问题(教师版).doc
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- 2021-10-23 发布|
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专题三 开放探索问题
题型一 条件开放探索
【典例1】如图,AB是半圆O的直径,点C是半圆上不同于A,B的一动点,在弧BC上取点D,使∠DBC=∠ABC,DE为半圆O的切线,过点B作BF⊥DE于点F.
(1)求证:∠DBF=2∠CAD;
(2)连接OC,CD.探究:当∠CAB等于多少度时,四边形COBD为菱形,并且写出证明过程.
【思路点拨】(1)根据圆周角定理可知∠CAD=∠CBD,要证明∠DBF=2∠CAD,只要证明∠DBF=2∠CBD即可,由∠DBC=∠ABC,可知∠ABD=2∠DBC,所以只要证明∠DBF=∠ABD即可,由切线的性质和题意,可以得到∠ODB=∠DBF,再根据OD=OB,即可得到∠ODB=∠OBD,然后即可得到∠DBF=∠ABD,从而可以证明结论成立;
(2)先写出∠CAB等于多少度时,四边形COBD为菱形,然后根据∠CAB的度数和菱形的判定,证明四边形COBD为菱形.
【自主解答】(1)连接OD,
∵DE为半圆O的切线,BF⊥DE,
∴∠ODF=∠BFD=90°,
∴OD∥BF,
∴∠DBF=∠ODB.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠DBC=∠ABC,
∴∠OBD=2∠CBD.
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠DBF=2∠CAD.
(2)当∠CAB=60°时,四边形COBD为菱形.
证明:∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵∠CAB=60°,∴∠ABC=30°.
∵∠DBC=∠ABC,∴∠ABD=2∠ABC=60°,
∴∠DAB=30°.
∵∠DAB=∠DCB,
∴∠DCB=30°.
∴∠DCB=∠ABC,
∴CD∥AB.
∵∠COA=2∠ABC,
∴∠COA=∠ABD,
∴OC∥BD,
∴四边形COBD是平行四边形.
又∵OC=OB,
∴四边形COBD是菱形.
1.常考题型:
(1)补充条件型问题.
(2)探索条件