二平面法向量夹角一定等于二面角吗.doc

(整理)二平面法向量的夹角必然等于二面角吗

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(整理)二平面法向量的夹角必然等于二面角吗

二平面法向量的夹角必然等于二面角吗

要点词： 平面法向量 二面角

摘 要：二平面法向量的夹角与二面角的关系 用向量法求二面角的方法

向量是数形结合的典范，拥有几何与代数的二重性，是一个解决

问题的重要的数学工具。 在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题， 这样就把抽象的空间思想转变成较机械的代

数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题供应了极大的方便． 但

是在运用向量法求角时， 必然要注意所取向量的夹角与所求的犄角之间的关系，否则常会以致误解．下面我们先看一个误解的例子：

在《未来导报·高考周刊》 2005 —— 2006 学年度第 32 期(总第 111 期)中，利用空间向量求二面角一文中的例 1：

图 1

在四棱锥 V— ABCD 中，底面 ABCD 是正

方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD ⊥底面ABCD ，求面 VAD 与面 VDB 所成二面角的大小。

解：建立如图 1 所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为 1．依据题意，得 AB =(o，1，o)是面 VAD 的法向量，设 n =(1，y，

z)是面 VDB 的法向量，则

n VB

0

y 1

n VD

0

3

z

3



n

3

1, 1,

3

cos AB ,n

AB n

21 .

AB n

7

所以面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小为：

arccos 21

.

7

误解解析：如图 2 ，在二面角 中，

点 P 为平面 、 外一点，点 A、B 分别在平面

内，

且 P⊥ ，PB⊥ ，AC、BC 分别为平面 PAB



图 2

与平面 、 的交线．显然有 ACB 为二面角 的平面角；