第23课时 数列通项公式与求和的常见方法.docx
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第23讲 数列通项公式与求和的常见方法
【知识梳理】
一、通项公式求解的常见方法
1、公式法
借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项,结合等差数列通项公式与等比数列通项公式求解
(1)常见的等差数列的通项公式
①;②;③.
(2)常见的等比数列的通项公式
①;②.
2、退位相减(除)法
退位相减法适用于递推关系中同时含有与的形式(其中),求解数列通项公式时借助关系:,操作时一般两种思路:
思路一:将条件中所有的,全部转化为的形式,即使得递推关系中只含有,进而视为新数列,先求出的通项公式,再结合,求出;
思路二:将条件中所有的形式退位,再原递推关系式与退位过后的递推关系作差,将其转化为只含有的形式,再构造等比或等差数列求出的通项公式.
退位相除法适用于递推关系中同时含有与的形式(其中),借助,可以求出在条件下的表达式,最后验证下首项即可.
【注】不论是退位相减法还是退位相除法,一般都需要验证首项符不符合,在不符合的条件下,书写通项公式时,注意分段表达.
3、(累加法)
具体如下:先得到如下个式子,
再将上述个式子左右分别累加,可以得到:,即,求和化简后,再验证是否成立即可.
4、(累乘法)
具体如下:先得到如下个式子,
再将上述个式子左右分别累乘,可以得到:,即,求积化简后,再验证是否成立即可.
5、待定系数法
①;
设(其中为待定系数),通过比较系数,可以求出,只需验证,即可得到数列为等比数列,首项为,公比为,从而可以求出数列的通项公式,进而可以求出的通项公式.
②.
设(其中为待定系数),通过比较系数,可以求出,只需验证,即可得到数列为等比数列,首项为,公比为,这样即可求出数列的通项公式,进而可以求出的通项公式.
6、取倒数法
一般适用于:①;②;③.
针对或,通过对等式两边同时取倒数,将其转化为类型:,此时若,直接借助等差数列通项公式求解即可;若,结合前面的待定系