高三冲刺课程第10讲 数形结合思想（学生版） .docx

高三冲刺课程第10讲 数形结合思想

一、要点归纳

1、高中数学所涉及的数学思想主要有：①分类讨论②数形结合③等价转化（化归）④函数与方程

2、有些代数问题我们若用纯代数法处理会很困难，而借助于图形来处理往往会变的简单化，因为图形比较直观.

3、有些几何图形问题我们凭直觉很难观察，而且有时会出现较大的误差，这时我们往往就需要通过代数运算进行量化处理，因为代数运算量化非常精确.

4、对一些复杂的问题我们往往不能只用纯代数法或纯几何法来解决，因为两种方法都有自己的短处，所以这时我们就必须使用两种方法结合来分析处理.著名数学家华罗庚曾说到：“数与形，本是相倚依 ，焉能分作两边飞。

数缺形时少直观，形缺数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体 ，永远联系莫分离。”

二、典型例题

例1、设全集，， ,

，求集合.

答案：，

解析：

有题意可知，全集中的元素分布如右图所示，

可知，.

例2、当时，不等式恒成立，求的取值范围.

答案：

解析：

有题意可知，不等式恒成立，

，

画出图像可知，显然，且只需当时不等式成立即可，

.

例3、已知方程的根分别为，则= .

答案：2014

解析：

分别可以看成，方程的根，

即直线图像交点的横坐标，

又互为反函数，图像关于直线对称，

所以它们与直线的交点也关于直线对称，

.

例4、设，求证：.

证明： 如右图所示，，，

显然，所以；

又,,即

所以原命题成立.

例5、在平行四边形ABCD中，, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .

答案：[2, 5]

解析：如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,). 设?[0,1]，则，， 所以M(2+,)，N(－2t, )，

故=，