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现代控制理论刘会计学（1） 式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：（2）式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1 系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：（3）成立，则称 为系统的平衡状态。（4） 当A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。开始观察的时间变量。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：就有三个平衡状态： 由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例如系统：4.1.2稳定性的几个定义 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：（5）式中， 为欧几里德范数。（6） 当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球域 内，便有：在n维状态空间中，有：（7） 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1．李雅普诺夫意义下稳定2．渐近稳定3．大范围渐近稳定4．不稳定线性定常系统（1） 平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 如果系