直线与圆锥曲线题型总结.doc

直线和圆锥曲线基本题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题 1、已知直线 l : y

kx 1

与椭圆 C : x2

y2

1始终有交点， 求 m 的取值范围

4

m

解：根据直线 l : y kx

1 的方程可知， 直线恒过定点 （

0，1），椭圆 C :

x2

y2

4

1

m

（0， m ),且 m 4

，如果直线

l : y kx 1

和椭圆 C:

x2

y

2

1 始终有交点，

过动点

4

m

则 m 1，且 m 4 ，即 1 m且m 4 。

题型二：弦的垂直平分线问题

例题 2、过点 T(-1,0)

作直线 l 与曲线 N ： y2

x 交于 A、 B 两点，在 x 轴上

是否存在一点

E( x0 ,0) ，使得

ABE 是等边三角形，若存在，求出

x0 ；若不

存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于

0。

设直线 l : y

k (x

1) ， k

0 ， A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) 。

由 y

k (x

1)消 y 整理，得

k 2 x2

(2 k 2

1)x

k 2

0

①

y2

x

由直线和抛物线交于两点，得

(2 k 2

1)2

4k 4

4k 2

1

0

即

0

k 21

②

4

由韦达定理，得： x1

x2

2k 2

2

1, x1x2

1 。则线段 AB的中点为 (

2k 2

2

1 ,

1 ) 。

k

2k

2k

线段的垂直平分线方程为：

y

1

1 ( x

1

22k 2

) 令 y=0, 得 x0

12

1

，则

2k

k

2k

2k

2

E(

1

1 ,0)

2k 2

2

Q

ABE

为正三角形，

E ( 1

1 ,0)

到直线

AB的距离 d=

3 AB

。

2k 2

2

2

Q AB

( x1

x2 ) 2

( y1 y2 ) 2

1 4k 2

1 k2

k 2

d