《阿氏圆专题》2022年中考专练附答案（广东专用）.docx

专题04 阿氏圆专题

在前面的“胡不归〞问题中, 我们见识了“kPA+PB〞最值问题, 其中P点轨迹是直线, 而当P点轨迹变为圆时, 即通常我们所说的“阿氏圆〞问题．

【模型来源】

“阿氏圆〞又称为“阿波罗尼斯圆〞, 如以下图, A、B两点, 点P满足PA：PB=k〔k≠1〕, 那么满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称“阿氏圆〞.

【模型建立】

如图 1 所示, ⊙O 的半径为R, 点 A、B 都在⊙O 外 , P为⊙O上一动点, R=OB,

连接 PA、PB, 那么当“PA+PB〞的值最小时, P 点的位置如何确定？

解决方法：如图2, 在线段 OB 上截取OC使 OC=R, 那么可说明△BPO与△PCO相似, 那么有PB=PC. 故此题求“PA+PB〞的最小值可以转化为“PA+PC〞的最小值, 其中与A与C为定点, P为动点, 故当 A、P、C 三点共线时, “PA+PC〞值最小.

【技巧总结】

计算的最小值时, 利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小, 解决步骤具体如下：

如图, 将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP, OB

计算出这两条线段的长度比

在OB上取一点C, 使得, 即构造△POM∽△BOP, 那么,

那么, 当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究 启迪思维 探究重点

例题1. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3, 以点C为圆心, 2为半径作圆C, 分别交AC、BC于D、E两点, 点P是圆C上一个动点, 那么的最小值为__________．

【分析】这个问题最大的难点在于转化, 此处P点轨迹是圆, 注意到圆C半径为2, CA=4,

连接CP, 构造包含线段AP的△CPA, 在CA边上取点M使得CM=2,