微分方程数值解习题课概要.doc
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微分方程数值解习题课纲要
微分方程数值解习题课纲要
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微分方程数值解习题课纲要
微分方程
初值问题数值解
习题课
1
一、应用向前欧拉法和改良欧拉法求由以下积分
x
e t
2
y
dt
0
所确立的函数 y 在点 x =0.5,1.0,1.5
的近似值。
解:该积分问题等价于常微分方程初值问题
y ' e x2
y(0) 0
此中 h=0.5 。其向前欧拉格式为
y
y
he ( ih ) 2
i 1
i
y0
0
2
改良欧拉格式为
yi 1
yi
h (e ( ih)2
e ( i 1)2 h2 )
2
y0
0
将两种计算格式所得结果列于下表
i
xi
向前欧拉法 yi
改良欧拉法 yi
0
0
0
0
1
0.5
0.5
0.44470
2
1.0
0.88940
0.73137
3
1.5
1.07334
0.84969
3
二、应用 4 阶 4 步阿达姆斯显格式求解初值问题
y ' x y 1
0 x 0.6
y(0) 1
取步长 h=0.1.
解: 4 步显式法一定有 4 个起步值, y0 已知,其余
个 y1, y2 , y3 用 4 阶龙格库塔方法求出。
此题的信息有:
步长 h=0.1 ;结点 xi
ih
0.1i (i
0,1, ,6) ;
f ( x, y) x y
1, y0
y(0)
1
4
经典的 4 阶龙格库塔公式为
5
y
y
i
h ( k
2k
2
2k
3
k
4
)
i 1
6
1
k1
f (xi , yi ) xi
yi
1
k
2
f (x
h , y
hk1 )
x
y
0.05k
1.05
i
2
i
2
i
i
1
k
3
f ( x
h , y
i
hk2 )
x
i
y
0.05k
2
1.05
i
2
2
i
k4
f ( xi
h, yi
hk3 ) xi
yi