微分方程数值解习题课概要.doc

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文档介绍

微分方程数值解习题课纲要

微分方程数值解习题课纲要

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微分方程数值解习题课纲要

微分方程

初值问题数值解

习题课

1

一、应用向前欧拉法和改良欧拉法求由以下积分

x

e t

2

y

dt

0

所确立的函数 y 在点 x =0.5,1.0,1.5

的近似值。

解:该积分问题等价于常微分方程初值问题

y ' e x2

y(0) 0

此中 h=0.5 。其向前欧拉格式为

y

y

he ( ih ) 2

i 1

i

y0

0

2

改良欧拉格式为

yi 1

yi

h (e ( ih)2

e ( i 1)2 h2 )

2

y0

0

将两种计算格式所得结果列于下表

i

xi

向前欧拉法 yi

改良欧拉法 yi

0

0

0

0

1

0.5

0.5

0.44470

2

1.0

0.88940

0.73137

3

1.5

1.07334

0.84969

3

二、应用 4 阶 4 步阿达姆斯显格式求解初值问题

y ' x y 1

0 x 0.6

y(0) 1

取步长 h=0.1.

解: 4 步显式法一定有 4 个起步值, y0 已知,其余

个 y1, y2 , y3 用 4 阶龙格库塔方法求出。

此题的信息有:

步长 h=0.1 ;结点 xi

ih

0.1i (i

0,1, ,6) ;

f ( x, y) x y

1, y0

y(0)

1

4

经典的 4 阶龙格库塔公式为

5

y

y

i

h ( k

2k

2

2k

3

k

4

)

i 1

6

1

k1

f (xi , yi ) xi

yi

1

k

2

f (x

h , y

hk1 )

x

y

0.05k

1.05

i

2

i

2

i

i

1

k

3

f ( x

h , y

i

hk2 )

x

i

y

0.05k

2

1.05

i

2

2

i

k4

f ( xi

h, yi

hk3 ) xi

yi

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