排列组合中的分组分配问题及排列组合专项练习题.doc

PAGE

PAGE 1

排列组合中的分组分配问题

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本.

(3)一组四本，另外两组各一本.

分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=15(种)。

(2)先分组，方法是，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。

(3)分组方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。