组合数学课后答案.pdf

作 业 习 题 答 案 习题二

2.1 证明：在一个至少有 2 人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为 [1,n-1] ，由鸽巢原理知， n 个人认识的人数有

n-1 种，那么至少有 2 个人认识的人数相同。 假设有 1 人谁都不认识：那么其他 n-1 人认识的人数都为 [1,n-2] ，由鸽巢原理知， n-1 个人认识的

人数有 n-2 种，那么至少有 2 个人认识的人数相同。

2.3 证明：平面上任取 5 个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是

整数。

证明：

方法一：

有 5 个坐标，每个坐标只有 4 种可能的情况： （奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，

奇数）。由鸽巢原理知，至少有 2 个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的

坐标之和为偶数。因为 奇数 +奇数 = 偶数 ； 偶数 +偶数 =偶数。因此只需找以上 2 个情况相同的点。

而已证明：存在至少 2 个坐标的情况相同。证明成立。

方法二：

对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对 2 取模后的可能取值只有 4 种情况，即：

(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1) ，根据鸽巢原理 5 个点中必有 2 个点的坐标对 2 取模后是相同类型的，那么这两

点的连线中点也必为整数。

2.4 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过” 、“淘汰”和“待定” ，至少有多少人

参加才能保证必有 100 个人得到相同的结果？

证明： 根据推论 2.2.1 ，若将 3* （100-1）+1=298 个人得到 3 种结果，必有 100 人得到相同结果。 m 1