第11讲 垂直的性质和证明（解析版）.pdf

第11 讲 垂直的判定与性质 [玩前必备]

1．直线与平面垂直 图形 条件 结论 a⊥b，b⊂α(b 为α内的任意直线) a⊥α 判定 a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α a⊥α，b⊂α a⊥b 性质 a⊥α，b⊥α a∥b

2．两个平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条 l⊂β ⇒α⊥β 定理 垂线那么这两个平面互相垂直 l⊥α

(3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面垂直，那么在 α⊥β 性质 α∩β＝a 一个平面内垂直于它们交线 ⇒l⊥α 定理 l⊂β 的直线垂直于另一个平面 l⊥a [玩转典例]

题型一 直线与平面垂直的判定与性质

例 1 如图所示，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC

＝60°，PA＝AB＝BC，E 是PC 的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

[玩转跟踪]

1.如图所示，在四棱锥P­ABCD 中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，PD＝AD，E 是PB 的中 1

点，F 是DC上的点且DF＝AB，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证： 2

(1)PH⊥平面ABCD；

(2)EF⊥平面PAB.

2.[创新题型]如图，直三棱柱ABC­A B C 中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是A B 的中点，F 在BB 上． 1 1 1 1 1 1

(1)求证：CD⊥平面AA B B； 1 1 1

(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB ⊥平面CDF？并证明你的结论． 1 1

①F 为BB 的中点；②AB ＝ 3；③AA ＝ 2. 1 1 1