第05讲 极值点偏移:平方型(解析版)突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练.docx

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文档介绍

第05讲 极值点偏移:平方型

参考答案与试题解析

一.解答题(共9小题)

1.(2021?广州一模)已知函数.

(1)证明:曲线在点,(1)处的切线恒过定点;

(2)若有两个零点,,且,证明:.

【解答】证明:(1),

(1),又(1),

曲线在点,(1)处的切线方程为,

即,当时,,

故直线过定点,;

(2),是的两个零点,且,

,可得,

令,,

构造函数,,

令,则,则在上单调递增,

而(2),,则在上单调递增,

(2),可得,则,

即,则.

2.(2021?浙江开学)已知,(其中为自然对数的底数).

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若,函数有两个零点,,求证:.

【解答】解:,

,时,,

时,增区间为:,减区间为:;

时,,

时,增区间为:;

时,,

时,增区间为:,减区间为:;

综上:时,增区间为:,减区间为:;

时,增区间为:;

时,增区间为:,减区间为:;

(Ⅱ)证法一:由(1)知,时,增区间为:,减区间为:;

且时,,,

函数的大致图像如下图所示:

因为时,函数有两个零点,,所以,即,

不妨设,则,

先证:,即证:,

因为,所以,又在单调递增,所以即证:

又,所以即证:,,

令函数,,

则,

因为,所以,,故,

函数在单调递增,所以,

因为,所以,,即,

所以.

(Ⅱ)证法二:因为时,函数有两个零点,,

则两个零点必为正实数,,

问题等价于有两个正实数解;

则,在单调递增,在单调递减,且,

令,,

则,

所以在单调递增,,

又,故,,

又,所以,

又,所以,,

又在单调递增,所以,

所以.

3.(2021秋?泉州月考)已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若是自然对数的底数),且,,,证明:.

【解答】解:(1)函数,则,

令,解得,

若,当时,,则单调递增;

当时,,则单调递减,

所以在上单调递增,在上单调递减;

若,当时,,则单调递减;

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