83-最短路径问题New(2).pdf

离散数学及其应用 最短路径问题 最短路径问题

– 无向简单连通图的边或结点带有信息的图称为带权图。

– 在一个无向简单连通边带权图G= （V，E ，W）中，从u到v的一条 通路中包含的各条边的权值之和称为这条通路的长度。

– 从u到v的所有通路中长度最短的通路称为u到v的最短路径。

– 求给定两结点之间的长度最短的通路问题称为最短路径问题. a b 3 2 2 1 uadv是u到v的最短路径 u v 1 2 3 c d Dijkstra算法 Dijkstra （迪杰斯特拉）算法是求最短路径算法，用于计算权值非

负的图的一个结点到其他所有结点的最短路径。 算法思想：

• 把图G( V，E)中结点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的

结点集合S ，第二组为其余未确定最短路径的结点集合T ；

• 初始时S中只有一个源结点，按最短路径长度的递增次序依次把

集合T的结点加入集合S中。

• 每个结点对应一个距离，S中的结点的距离就是从u到此结点的最

短路径长度；T中的结点的距离，是从u到此结点只包括S中的结点

为中间结点的当前最短路径长度。 Dijkstra算法 设带权图G(V,E,W）和结点u ，其中每条边e的权W(e)为非负实数，求结

点u到其它结点的最短路径长度: 1. 初始化结点距离值L(v ), v V。除L(u)初始化为0 ，其它所有结点 i i

L(v )=+，S={u},T= V- {u}。 i 2. 修改和结点u相邻的结点v 的距离值：L(v )= W(u,v ) ，更新T中的结点 i i i

距离值L 。 3. 将T中具有最小L值的结点记为t ，从集合T中删除t ，添加t到集合S中，