线代-1.10-修改3线性代数解题技巧及典型题解析.pdf
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- 2021-10-16 发布|
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第十讲 行列式的计算(2)
4.递推法 n D 递推法是指根据行列式的结构特点,找出所求 阶行列式 与其相应的低阶 n 行列式之间的递推关系,从而计算行列式. D D D 通常是建立 与 的递推关系,逐步推下去,从而得出 的值.有时也可以 n n−1 n D D D D 找到 , 以及 之间的递推关系式,最后利用 , 求出 的值. n n−1 n−2 D1 D2 n n
例1 计算 阶行列式 x −1 0 0 0 0 x −1 0 0 0 0 x 0 0 D . n 0 0 0 x −1 a a a a x +a n n−1 n−2 2 1 D
解 将 按第1列展开,得到 n x −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 x −1 0 0 x −1 0 0 Dn x Dn−1 +(−1)n+1an 0 x 0 0 , 0 0 0 x −1 a a a a x +a 0 0 x −1 n−1 n−2 n−3 2 1 即 D xD =+a . n n−1 n 这个式子对任意自然数 n(n 2) 都成立,例如,对低一阶的行列式 Dn−1 , 类似有Dn−1 xDn−2 =+an−1 ,所以 D xD =+a n n−1 n x (xDn−2 =+an−1 ) +an 2 x D =+a x +a n−2 n−1 n n−1 n−2 x D =+a x + +a x +a . 1 2 n−1 n 因为D x =+a x =+a , 1 1 1 所以D xn =+a xn−1 +a xn−2 + +a x +a . n 1 2 n−1 n
注 n 1、例1也可以利用降阶法,按第 行展开来进行计算. 2、例1中得到的是 Dn 与 Dn−1 之间的递推关系. n 例2 计算 阶行列式 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 0 0 D . n 0 0 0 2 1 0 0 0