电磁场与电磁波例题详解.pdf

第 1 章 矢量分析 2

例 1.1 求标量场 (x y ) z 通过点 M(1, 0, 1)的等值面方程。 解： 点 M 的坐标是 x0 1, y0 0, z0 1 ，则该点的标量场值为 2 (x y ) z 0 。其等值面方程为 ： 0 0 0 (x y) 2 z 0 或 z (x y )2

例 1.2 求矢量场 A a xy 2 a x2 y a zy2 的矢量线方程。 x y z dx dy dz 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： 2 2 2 xy x y y z dx dy 2 2 从而有 xy x y dx dz 2 2 xy y z z c x 1 解之即得矢量方程 ，c1 和 c2 是积分常数。 2 2 x y c 2 2 2

例 1.3 求函数 xy z xyz 在点（ 1，1，2 ）处沿方向角 , , 的方向导数。 3 4 3 2 解： 由于 M (1,1,2) y yz M ( 1,1,2) 1 , x 2 0 M (1,1,2 ) xy xz M (1,1,2 ) , y 2 3 M (1,1,2 ) z xy M (1,1,2) , z 1 2 1 cos ,cos ,cos 2 2 2 所以

1 cos cos cos 1 M l x y z

例 1.4 求函数 xyz 在点 (5,1,2) 处沿着点 (5,1,2) 到点 (9,4,19) 的方向导数。 解： 点 (5,1,2) 到点 (9,4,19) 的方向矢量为 l a (9 5) a (4 1) a (19 2) a 4 a 3 a 17 x y z x y z 其单位矢量 4 3 7 l a cos a cos a cos a a a x y z x y z 314 314 314 (5,1,2) yz (5 ,1,2 ) 2, (5,1,2) xz ( 5,1,2) 10, (5,1