六年级数学专题讲义余数问题.doc

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余数问题

同余：如果两个整数a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记作a≡b(mod m)。其性质如下：

1、a≡a(mod m)。(反身性)

2、若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。(对称性)

3、若a≡b(mod m)，b≡c(mod m),则a≡c(mod m)。(传递性)

4、若a≡b(mod m)，c≡d(mod m),则a±c≡b±d(mod m), ac≡bd(mod m).(可加减性与可积性)

5、若a≡b(mod m)，n是自然数，则。

6、如果a,b除以c同余，那么a与b的差能被c整除。反之，如果两个整数之差被m整除，那么这两个整数被m除一定同余。

7、a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23＋16)除以5的余数等于3＋1=4.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23＋19)除以5的余数等于(3＋4)除以5的余数2.

8、a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数2.

〖经典例题〗

例1、求127×321×1994被7除的余数。

【分析】127≡1(mod 7)，321≡6(mod 7)，1994≡6(mod 7)，127×321×1994≡1×6×6(mod 7)≡1(mod 7)。余数是1.