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勾股定理的之长方体上的最短路径问题 【知识点】

求长方体 (如图 1)上 A 、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方

式(如图 2) 2 2 2 2 2 2

(1) 右侧面向前展开，如图①，此时 AB ＝(a＋b) ＋c ＝a ＋b ＋c ＋2ab 2 2 2 2 2 2

(2) 上底面向前展开，如图②，此时 AB ＝(c＋b) ＋a ＝a ＋b ＋c ＋2bc 2 2 2 2 2 2

(3) 上底面向左展开，如图③，此时 AB ＝(a＋c) ＋b ＝a ＋b ＋c ＋2ac

通过对三种展开方式的分析，我们得到： ① 当 c 最大时，图①中 AB 最短 ② 当 a 最大时，图②中 AB 最短 ③ 当 b 最大时，图③中 AB 最短 【练习题】

1. 如图，长方体的高为 3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从 A 处出发，沿长方体表面到达 C 处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 1

2. 如图，有一个长、宽各为 2 m、高为 3 m 且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点 A 爬到顶点 B，那么这只昆虫爬行的最短路程为

3. 如图，一个三级台阶， 它的每一级的长、 宽和高分别是 50 cm、30 cm、10 cm， A 和 B 是这个台阶的两个相对的点， A 点处有一只壁虎，它想到 B 点去吃可 口的食物，请你想一想，这只壁虎从 A 点出发，沿着台阶爬到 B 点，至少需 爬 cm

4. 如图，已知长方体的长 AC ＝2 cm，宽 BC ＝1 cm，高 AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从 A 点爬到 B′点，那么最短路程是多少？ 2