微专题 焦点三角形.doc

61焦点三角形

内容回顾 焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，称为焦点三角形

1.椭圆上的焦点△PF1F2中．设∠F1PF2＝θ.有如下结论:

（1）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|；

（2）△PF1F2的周长为2(a＋c)；

（3）S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2·eq \f(sin θ,1＋cos θ)＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，

当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.　内切圆半径最大

（4）设，,则有；

（5）若△PF1F2的内切圆圆心为I,延长交于，则，所以

（为离心率）

2.双曲线的焦点△PF1F2中．设∠F1PF2＝θ. 有如下结论;

（1）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|；

（2）△PF1F2的周长为；

（3）S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝

（4）设，,则有

如图，若△PF1F2的内切圆圆心为I,内切圆与轴相切于点，

则，因为|PF1|-|PF2|=2a.

由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.? ① |NF1|+|NF2|=2c.?????????? ②

由①②得|NF1|=. ∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a.

故切点N的坐标为

3.过抛物线焦点作直线交抛物线于两点，则

典例解析：

题型一 周长问题

1. 是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，求的周长。

解： 据椭圆的定义有，，则的周长为。

2.已知 是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，的延长线交椭圆于点，求的周长。

解：,,

题型二 面积问题

3.如图1， 是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点， 求的面积。

解 设，由椭圆定义可知，。

两边平方得，（1）