专题05 函数对称性、周期性的应用(原卷版).docx

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文档介绍

专题05 函数对称性、周期性的应用

【热点聚焦与扩展】

高考对函数性质的考查往往是综合性的,如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查,因此,复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上,注重函数性质的综合应用的演练.

(一)函数的对称性

1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称

2、轴对称的等价描述:

(1)关于轴对称(当时,恰好就是偶函数)

(2)关于轴对称 在已知对称轴的情况下,构造形如的等式只需注意两点,一是等式两侧前面的符号相同,且括号内前面的符号相反;二是的取值保证为所给对称轴即可.例如:关于轴对称,或得到均可,只是在求函数值方面,一侧是更为方便

(3)是偶函数,则,进而可得到:关于轴对称.

① 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在中,仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的取相反数时,函数值相等,即,要与以下的命题区分:

若是偶函数,则:是偶函数中的占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有

② 本结论也可通过图像变换来理解,是偶函数,则关于轴对称,而可视为平移了个单位(方向由的符号决定),所以关于对称.

2、中心对称的等价描述:

(1)关于中心对称(当时,恰好就是奇函数)

(2)关于中心对称 在已知对称中心的情况下,构造形如的等式同样需注意两点,一是等式两侧和前面的符号均相反;二是的取值保证为所给对称中心即可.例如:关于中心对称,或得到均可,同样在求函数值方面,一侧是更为方便

(3)是奇函数,则,进而可得到:关于中心对称.

① 要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在中,仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的取相反数时,函数值相反,即,要与以下的命题区分:

若是奇函数,则:是奇函数中的占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有

② 本结论也可通

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