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4．【2019·河北保定模拟】如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠1＝∠2. (1)求证：△ADP∽△BCP； 证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB， ∴△ADP∽△BCP. (2)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 解：∵△ADP∽△BCP， ∴ ，即 . 又∵∠APB＝∠DPC， ∴△APB∽△DPC， ∴ ∴ ∴AP＝6. (由∠BAC＝90°，AD⊥BC得△ABC∽△DBA∽△DAC) 模型3 双垂直型 5．【2020·浙江宁波改编】(1)如图①，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：△ADC∽△ACB. 证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB. (2)如图②，在?ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A.若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C. ∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF， ∴ ，∴BF2＝BE·BC， ∴BC＝ ∴AD＝ (AB＝kAC，△ADE由△ABC 旋转得到，则△ABD∽△ACE) 模型4 旋转型 6．如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF. (1)求证：△ACE∽△BCF； 证明：∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝∠ACB＝45°，CE＝ CF，AC＝ CB， ∴∠BCF＝∠ACE， ， ∴△ACE∽△BCF. (2)若BE＝2，AE＝4，求EF的长． 解：由(1)知，△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE， ∴BF＝ AE＝ ×4＝2 ∵∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF＋∠CBE＝90°， 即∠EBF＝90°， ∴根据勾股定理得EF