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初等不等式证明 一、基本不等式及应用 基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理，用于证明其他

一些不等式. 基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式. 1. 平均值不等式 a , a , , a n 设 1 2 n 是 个正实数，记 n H ， G n a a a ， n 1 1 1 n 1 2 n   a a a 1 2 n 2 2 2 a a a a a a An 1 2 n ， Q 1 2 n ， n n n H 、G 、A 、Q n

分别称 为这 个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则 n n n n

有 H n Gn An Qn ，

当且仅当a1 a2  an 时取等号. 2. 柯西（Cauchy ）不等式 设a ,b R(i 1,2, , n) ，则 i i n n n 2 2 2 ( a b ) ( a )( b ) ，    i i i i i 1 i 1 i 1

当数组a , a , , a ；b ,b , ,b 不全为零时，当且仅当b a (i 1, 2,, n, 0) 时取 1 2 n 1 2 n i i

等号. 3. 排序不等式 设两组实数a , a , , a ；b ,b , ,b ，满足a a a ，b b b ，则 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

有 a b a b a b 和） 1 n 2 n1 n 1 （反序 ） a b a b a b （乱序和 1 i 2 i n i 1 2 n （同 a b a b a b 序 1 1 2 2 n n

和）