算术平均值的实验标准差和单次测量值的实验标准差的区别.pdf

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文档介绍

一、问题的提出 i i 在不等精度直接测量时, 由各测量值 x 及其 σ 计算加权算术平均值 的

时,有两个计算公式 式中 : pi ——各测量值的权; σi ——各测量值的 标准差 ; σ——单位权 标准

差 ; ——加权 算术平均值的 标准差 。 但这两个公式的计算结果有时会相差很大。 那么,在这种情况下, 采用哪个

公式更为合理呢本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨, 并给出了一般性

的原则。 二、公式的数学推导 在不等精度测量时,各测量值的权的定义式为 : 测量结果的最佳估计值为 : 则测量结果的不确定度评定为 : 对式 (5) 求方差有 x x 设各测量值 i 的方差都存在,且已知分别为 ,即 D( i )= 2 σ p 由(4) 式有 = / i 从公式 (1) 的推导,我们可以看出,此时各测量值的方差 ( 或标准差 ) 必须是

已知的。而在实际测量中, 常常各测量值的方差 ( 或标准差 ) 是未知的, 无法直接

应用公式 (1) 进行不确定度评定。但是,从分析来看,如果能由各测量值的残差 ( 其

权等于测量值的权 ) 求出单位权 标准差 的估计值,并将其代入公式 (1) 中,就可计

算出加权算术平均值 标准差 的估计值。为此,作如下推导 : ν x i n 由残差 i = i - =1,2,…… ν 对 i 单位权化 由于 vi 的权都相等,因而可设为 1,故用 vi 代替贝塞尔公式中的 νi 可得单位权 标准差 的估计值 将此式代入公式 (1) ,即得到加权算术平均值 标准差 的估计值 从上面的推导我们可以看出,公式 (1) 是在各测量值的 标准差 已知时计

算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值;而公式 (2) 是在各测量值的 标准

差 未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。 从概率论与数理统计

知识可知,只有在 n→∞时,其单位权 标准

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