习题详解-第2章极限与连续.pdf

习题 2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： n n (1) xn ; (2) xn 2 ( 1) ； n 1 n 1 1 (3) xn 3 ( 1) ； 　 (4) xn 2 1. n n 1 2 3 4 n

解： (1) 此数列为 x1 , x2 ,x3 , x4 , , xn , 所以 lim xn 1 。 2 3 4 5 n 1 n n (2) x1 3,x2 1,x3 3,x4 1, ,xn 2 ( 1) , 所以原数列极限不存在。 1 1 1 n 1 (3) x 3 1,x 3 , x 3 , x 3 , , x 3 ( 1) , 1 2 3 4 n 2 3 4 n 所以 lim xn 3 。 n 1 1 1 1 (4) x1 1 1,x2 1,x3 1,x4 1, ,xn 2 1, 所以 lim xn 1 4 9 16 n n 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于 0 的数列的通项也一定大于 0.

解： (1) 正确。 n (2) 错误 例如数列 (-1) 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 n 2 (4) 错误 例如数列 xn 1 ( 1) 极限为 1，极限大于零，但是 x1 1小于零。 n * 3.用数列极限的精确定义证明下列极限： n 1 n ( 1) (1) lim 1 ; n n 2 n 2 (2) lim 2 1； n n n 1 5 2n 2 (3) lim n 1 3n 3 n 1 n ( 1) 1 1

证： (1) 对于任给的正数 ε，要使 xn 1 1 ，只要 n 即可，所以可 n n 1