高考数学必考热点大调查素材：热点24绝对不等式和不等式的证明（选修3）.doc

【最新考纲解读】

1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；

(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；

(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；

|ax＋b|≥c；

|x－c|＋|x－b|≥a.

3．认识柯西不等式的几何不同形式．理解它们的几何意义．

(1)证明：柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.

(2)证明：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

(3)证明 ：

eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＋eq \r((x2－x3)2＋(y2－y3)2)≥eq \r((x1－x3)2＋(y1－y3)2).

(通常称作平面三角不等式)．

【回归课本整合】

1、含绝对值不等式的解法

①|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c，

|ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，

②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．

解法1：S1　令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．

S2　把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间．

S3　在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．

S4　这些解集的并集就是原不等式的解集．

解法2：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．

解法3：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和．关键找出到A、B两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．