高考数学必考热点大调查素材:热点24绝对不等式和不等式的证明(选修3).doc

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文档介绍

【最新考纲解读】

1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式.

2.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:

(1)|a+b|≤|a|+|b|;

(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|;

(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

|ax+b|≤c;

|ax+b|≥c;

|x-c|+|x-b|≥a.

3.认识柯西不等式的几何不同形式.理解它们的几何意义.

(1)证明:柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α·β|.

(2)证明:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

(3)证明 :

eq \r((x1-x2)2+(y1-y2)2)+eq \r((x2-x3)2+(y2-y3)2)≥eq \r((x1-x3)2+(y1-y3)2).

(通常称作平面三角不等式).

【回归课本整合】

1、含绝对值不等式的解法

①|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c,

|ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c,

②|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.

解法1:S1 令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.

S2 把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间.

S3 在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集.

S4 这些解集的并集就是原不等式的解集.

解法2:构造函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c,写出f(x)的分段解析式作出图象,找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可.

解法3:利用绝对值的几何意义求解,|x-a|+|x-b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和.关键找出到A、B两点距离之和为c的点,“≤”取中间,“≥”取两边.

注意这里c≥|a-b|,若c<|a-b|,则|x-a|+|x

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