第八章立体几何学案46利用向量方法求空间角《高中数学第一轮复习导学案》.doc
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- 2021-09-17 发布|
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学案46 利用向量方法求空间角
导学目标: 1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角.
自主梳理
1.两条异面直线的夹角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,在直线a上任取一点作直线a′∥b,则a′与a的夹角叫做a与b的夹角.
(2)范围:两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________.
(3)向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos θ=________=______________.
2.直线与平面的夹角
(1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.
(2)范围:直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________.
(3)向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sin θ=__________或cos θ=sin φ.
3.二面角
(1)二面角的取值范围是____________.
(2)二面角的向量求法:
①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角(如图①).
②设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).
自我检测
1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45° B.135°
C