数学百大经典例题——两直线的位置关系(新课标).doc

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文档介绍

典型例题一

例1 已知,,,求点的坐标,使四边形为等腰梯形.

分析:利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题.

解:如图,

设,若,则,,

由①、②解得.

若,则

由③、④式解得.

故点的坐标为或.

说明:(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准,解此题时注意不要漏解.(2)在遇到两直线平行问题时,一定要注意直线斜率不存在的情况.此题中、的斜率都存在,故不可能出现斜率不存在的情况.

典型例题二

例2当为何值时,直线与直线互相垂直?

分析:分类讨论,利用两直线垂直的充要条件进行求解.或利用结论“设直线和的方程分别是,,则的充要条件是”(其证明可借助向量知识完成)解题.

解法一:由题意,直线.

(1)若,即,此时直线,显然垂直;

(2)若,即时,直线与直线不垂直;

(3)若,且,则直线、斜率、存在,

,.

当时,,即,

∴.

综上可知,当或时,直线.

解法二:由于直线,所以,解得.

故当或时,直线.

说明:对于本题,容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误,如先认可两直线、的斜率分别为、,则,.

由,得,即.

解上述方程为.从而得到当时,直线与互相垂直.

上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直(斜率形式)的充要条件,忽视了斜率存在的大前提,因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑,出现了以偏概全的错误.

典型例题三

例3 已知直线经过点,且被两平行直线和截得的线段之长为5,求直线的方程.

分析:(1)如图,利用点斜式方程,分别与、联立,求得两交点、的坐标(用表示),再利用可求出的值,从而求得的方程.(2)利用、之间的距离及与夹角的关系求解.(3)设直线与、分别相交于、,则可通过求出、的值,确定直线的斜率(或倾斜角),从而求得直线的方程.

解法一:若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时与、的交点分别为和,截得的线段的长,符合题意,

若直线的斜率存在

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