高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题五 第3讲　圆锥曲线中的定值、定点及证明问题含答案.doc

第3讲　圆锥曲线中的定值、定点及证明问题

[做真题]

(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点．

证明：设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq \o\al(2,1)＝2y1.

由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.

整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.

故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.

所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).

[明考情]

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖．

　　　定值问题

1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．

案例

关键步

(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

(1)略

(2)BC的中点坐标为(eq \f(x2,2)，eq \f(1,2))，可得BC的中垂线方程为y－eq \f(1,2)＝x2(x－eq \f(x2,2)).