考点23 等比数列及其前n项和-高考全攻略之备战高考数学(理)考点一遍过含解析.doc
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- 2021-09-19 发布|
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(1)理解等比数列的概念.
(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)了解等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.
注意:(1)等比数列的每一项都不可能为0;
(2)公比是每一项与其前一项的比,前后次序不能颠倒,且公比是一个与无关的常数.
2.等比中项
如果在与中间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时.
3.等比数列的通项公式及其变形
首项为,公比为的等比数列的通项公式是.
等比数列通项公式的变形:.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为,当且时,是指数函数,是指数型函数,因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点.
当或时,是递增数列;
当或时,是递减数列;
当时,为常数列;
当时,为摆动数列,所有的奇数项(偶数项)同号,奇数项与偶数项异号.
二、等比数列的前n项和公式
首项为,公比为的等比数列的前项和的公式为
(1)当公比时,因为,所以是关于n的正比例函数,则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点.
(2)当公比时,等比数列的前项和公式是,即,设,则上式可写成的形式,则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点.
由此可见,非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和,且指数型函数的系数与常数项互为相反数.
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列,前n项和为,则有如下性质:
(1)若,则;若,则.
推广:若,则.
(2)若成等差数列,则成等比数列.
(3)数列仍是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.
(4)成等比数列,公比为.
(5)连续相邻项的和(或积)构成