考点23 等比数列及其前n项和-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

（1）理解等比数列的概念.

（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

（3）了解等比数列与指数函数的关系.

一、等比数列

1．等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．

注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；

（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.

2．等比中项

如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．

3．等比数列的通项公式及其变形

首项为，公比为的等比数列的通项公式是．

等比数列通项公式的变形：．

4．等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．

当或时，是递增数列；

当或时，是递减数列；

当时，为常数列；

当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．

二、等比数列的前n项和公式

首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为

（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．

（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．

由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．

三、等比数列及其前n项和的性质

若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：

（1）若，则；若，则．

推广：若，则．

（2）若成等差数列，则成等比数列．

（3）数列仍是公比为的等比数列；

数列是公比为的等比数列；

数列是公比为的等比数列；

若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．

（4）成等比数列，公比为．