数学百大经典例题——两平面垂直的判定和性质（新课标）.doc

典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知．在内作于，在内作于．

（２）如图２，已知．作于，在内作于，连结．

（３）已知．作于，于，平面，连结、．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2. 如图，在立体图形中，若是的中点，则下列命题中正确的是（ ）.

（A）平面⊥平面

（B）平面⊥平面

（C）平面⊥平面，且平面⊥平面

（D）平面⊥平面，且平面⊥平面

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

解：因为且是的中点，所以同理有，于是平面.因为平面，所以平面平面.又由于平面,所以平面平面.所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

典型例题四

例４．如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上异于、的任意一点，求证：平面平面．