高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 3 不等式及线性规划问题.doc

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文档介绍

问题3 不等式及线性规划问题

1.(2011·上海)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是(  ).                  

A.a2+b2>2ab B.a+b≥2eq \r(ab)

C.eq \f(1,a)+eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2

答案:D [对于A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对于B、C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,eq \f(1,a)+eq \f(1,b)<0,而2eq \r(ab)>0,eq \f(2,\r(ab))>0,显然B、C不对;对于D:当ab>0时,由基本不等式可得eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))=2.]

2.(2012·辽宁)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是(  ).

A.ex≤1+x+x2 B.eq \f(1,\r(1+x))≤1-eq \f(1,2)x+eq \f(1,4)x2

C.cos x≥1-eq \f(1,2)x2 D.ln(1+x)≥x-eq \f(1,8)x2

答案:C [正确命题要证明,错误命题只需举一个反例即可.如A,因为e3>1+3+32,故A不恒成立;同理,当x=eq \f(1,3)时,eq \f(1,\r(1+x))>1-eq \f(1,2)x+eq \f(1,4)x2,故B不恒成立;因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x+\f(1,2)x2-1))′=-sin x+x≥0(x∈[0,+∞)),且x=0时,y=cos x+eq \f(1,2)x2-1=0,所以y=cos x+eq \f(1,2)x2-1≥0恒成立,所以C对;当x=4时,ln(1+x)<x-eq \f(1,8)x

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