高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专题四 第3讲.doc

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文档介绍

第3讲 立体几何中的向量方法

考情解读 (1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间中平行与垂直的证明,常出现在解答题的第(1)问中,考查空间想象能力,推理论证能力及计算能力,属低中档问题.(2)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算,是高考的必考内容,属中档题.(3)以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题,考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力,是近几年高考命题的新亮点,属中高档问题.

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α、β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同).

(1)线面平行

l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.

(2)线面垂直

l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.

(3)面面平行

α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.

(4)面面垂直

α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.

2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).

(1)线线夹角

设l,m的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2)),则

cos θ=eq \f(|a·b|,|a||b|)=.

(2)线面夹角

设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2)),

则sin θ=eq \f(|a·μ|,|a||μ|)=|cos〈a,μ〉|.

(3)面面夹角

设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π),

则|cos θ|=eq \f(|μ·v|,|

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