高考数学（浙江专用，理科）二轮专题复习讲练：专题四 第3讲.doc

第3讲　立体几何中的向量方法

考情解读　(1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题．(2)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题．(3)以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．

1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)．

(1)线面平行

l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．

(1)线线夹角

设l，m的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2))，则

cos θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝.

(2)线面夹角

设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2))，

则sin θ＝eq \f(|a·μ|,|a||μ|)＝|cos〈a，μ〉|.

(3)面面夹角

设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，