【教材分析与导入设计】高中数学必修5(人教a版)第一章 【学案】1.1.1正弦定理 .doc
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- 2021-09-19 发布|
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1.1.1 正弦定理
学习目标
1.掌握正弦定理的推导过程;
2.理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用;
3.能应用正弦定理解斜三角形
要点精讲
1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
即 == =2R(R为△ABC外接圆半径)
(1)直角三角形中:sinA= ,sinB=, sinC=1
即 c=, c= , c=.
∴==
(2)斜三角形中
证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC= 两边同除以即得:==
证明二:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D
∴
同理 =2R,=2R
证明三:(向量法)
过A作单位向量垂直于
由 +=
两边同乘以单位向量 得 ?(+)=?
则?+?=?
∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?||cos(90??A)
∴ ∴=
同理,若过C作垂直于得: = ∴==
2.正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题:
(1)两角和任意一边,求其它两边和一角;
(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角
3.中,已知及锐角,则、、满足什么关系时,三角形无解,有一解,有两解?(见图示):
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
范例分析
例1.(1)已知下列三角形的两边及其一边对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答。
①; ②;
③; ④。
(2)在中,, 若有两解, 则的取值范围为 ( )
A、 B、 C、 D、
例2.(1)在△ABC中,已知,求的值;
(2)在△ABC中,已知,求的值。
例3.(1)在△ABC中,已知AB=l,∠C=50°,当∠B多大时,BC的长取得最大值.?
(2)△ABC的三个角满足A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,求三内角之比。
例4.(1)在中,,求的面积。
(2)在中,,求的外接圆半径和面积。
规律总结