【教材分析与导入设计】高中数学必修5(人教a版)第一章 【学案】1.1.1正弦定理 .doc

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文档介绍

1.1.1 正弦定理

学习目标

1.掌握正弦定理的推导过程;

2.理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用;

3.能应用正弦定理解斜三角形

要点精讲

1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,

即  == =2R(R为△ABC外接圆半径)

(1)直角三角形中:sinA= ,sinB=, sinC=1

即  c=, c= , c=.

∴==

(2)斜三角形中

证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中

S△ABC= 两边同除以即得:==

证明二:(外接圆法)

如图所示,∠A=∠D

同理 =2R,=2R

证明三:(向量法)

过A作单位向量垂直于

由 +=

两边同乘以单位向量 得 ?(+)=?

则?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?||cos(90??A)

∴ ∴=

同理,若过C作垂直于得: = ∴==

2.正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题:

(1)两角和任意一边,求其它两边和一角;

(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角

3.中,已知及锐角,则、、满足什么关系时,三角形无解,有一解,有两解?(见图示):

⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:

范例分析

例1.(1)已知下列三角形的两边及其一边对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答。

①; ②;

③; ④。

(2)在中,, 若有两解, 则的取值范围为 ( )

A、 B、 C、 D、

例2.(1)在△ABC中,已知,求的值;

(2)在△ABC中,已知,求的值。

例3.(1)在△ABC中,已知AB=l,∠C=50°,当∠B多大时,BC的长取得最大值.?

(2)△ABC的三个角满足A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,求三内角之比。

例4.(1)在中,,求的面积。

(2)在中,,求的外接圆半径和面积。

规律总结

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