高中人教版数学必修4学案：第2章 2.2.3　向量数乘运算及其几何意义含答案.doc

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

学 习 目 标

核 心 素 养

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)

2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)

3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)

4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)

1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.

2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.

1．向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μ a)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；

③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；

λ(a－b)＝λa－λb.

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？

[提示]　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.

3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.

1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)

A．b＝2a　　　　　 B．b＝－2a

C．a＝2b D．a＝－2b

A　[因a，b方向相同，故b＝2a.]

2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　)