高考数学(苏教版,理)一轮配套文档:第5章 5.3 平面向量的数量积.DOC
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- 2021-09-17 发布|
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§5.3 平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
3.平面向量数量积的重要性质
(1)e·a=a·e=|a|cos θ;
(2)非零向量a,b,a⊥b?a·b=0;
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=a2,|a|=eq \r(a·a);
(4)cos θ=eq \f(a·b,|a||b|);
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=eq \r(x2+y2).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离|AB|=|eq \o(AB,\s\up6(→))|=eq \r(?x2-x1?2+?y2-y1?2).
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量. ( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向