(教案)三角函数的图象与性质2.docx

三角函数的图象与性质

——正弦函数、余弦函数的性质

【教学目标】

1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3．掌握正弦函数的周期及求法。

【教学重点】

正、余弦函数的性质。

【教学难点】

正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】

一、讲解新课：

（1）定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］，

分别记作：

（2）值域

，

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。

其中正弦函数，

（1）当且仅当，时，取得最大值1。

（2）当且仅当，时，取得最小值。

而余弦函数，

当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。

（3）周期性

由，()知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。

注意：

1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域无下界；

2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）

3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的周期，最小正周期是

（4）奇偶性

由

可知：为奇函数

为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称

（5）单调性

从，的图象上可看出：

当时，曲线逐渐上升，的值由增大到1。

当时，曲线逐渐下降，的值由1减小到。

结合上述周期性可知：