(教案)正弦定理与余弦定理的应用.docx

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正弦定理与余弦定理的应用

教学重难点

教学目标

核心素养

测量距离、高度、角度问题

会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题

数学建模

【教学过程】

一、问题导入

利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

二、新知探究

测量距离问题

例1海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B岛与C岛间的距离是________．

【解析】如图，在中，，

由正弦定理，可得，

所以．

【答案】海里

[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？

解：由已知在中，，，，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．

.故.

即B，C间的距离为海里

eq \a\vs4\al()

测量距离问题的解题思路

求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．

测量高度问题

例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m.

【解析】由题意，在中，，，故.

又，故由正弦定理得，

解得．在中，．

【答案】

[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求的值．

解：如图，过点C，作，垂足为E，则，由例题可知，

，，

所以.

所以.

eq \a\vs4\al()

测量高度问题的解题思路