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第3课时 角平分线的性质1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理;(重点)2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点)一、情境导入问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路.问题1:怎样修建道路最短?问题2:往哪条路走更近呢?二、合作探究探究点一:角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,∠FDC=∠BDE.试说明:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即DE=DC.再根据△CDF≌△EDB,得CF=EB;(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等,从而得到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行求解.解:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在△CDF∠C=∠DEB=90°,和△EDB中,∵DC=DE,∴△CDF≌△EDB(ASA).∴CF=EB;{∠FDC=∠BDE,)(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴∠CAD=∠EAD,∠ACD∠CAD=∠EAD,=∠AED=90°.在△ADC和△ADE中,∵∠ACD=∠AED,∴△ADC≌{AD=AD,)△ADE(AAS),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两条垂线段相等.【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( ) A.6B.5C.4D.3解