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曲线与方程 【探究】 曲线的方程与方程的曲线 问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？ x O y x-y=0 (1)在直线上任找一点 则 是方程x-y=0的解； (2)如果 的解，那么 图象上的点M与此方程 ，有什么关系？ 问题2：方程 表示如图的圆， （1）圆上任一点 的解. · . 按某种规律运动 几何对象 x,y制约关系 代数表示 点 曲线C 坐标（x,y） 方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0. 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 在曲线C上的充分必要 条件是 问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解， 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？ 解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程 【总结提升】 要紧扣定义 问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上. 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的