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第45课 直线与圆的综合应用 * 知识梳理 回顾要求 1、已知圆外一点,能否写出圆的切线方程? 2、研究两圆关系的主要“特征线”有那几个? 3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系,一般采用两种方法 要点解析 1、已知圆, , 圆 则以 为切点的圆 的切线方程 为 ,圆的切线方程为: 2、两圆公切线、连心线、公共弦是研究两圆关系的主要“特征线,合理利用会使问题简捷 3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系,一般采用两种方法:一是利用几何特征转化为代数问题求解;二是利用方程组求解。其中方法一是常用方法。 诊断练习 【分析与点评】 因为点P在圆外,所以所求切线必有两条,预先作出判断可减少解题失误。 【变式1】已知圆O: ,则过点P(2,4) 与圆O相切的切线方程为 。 【变式2】圆O: 在点P(1, ) 处的切线方程为 。 【分析与点评】 首先判断点P与圆的位置关系,因为点P在圆上,所求切线仅有一条。 题2.由直线 上的一点向圆 引切线,则切线长的最小值为 . 【分析与点评】 方法一:在直线 上任取一点 ,则切线长 ,点到圆心的距离 ,半径 ,满足 ;则 ,所以 ,则当 时,切线长 . 代数法 方法二:由方法一可知,求 的最小值即为求 的最小值. · P · C O x y 由几何图形知,过圆心作直线 的垂线,过垂足 引圆的两条切线的切线长最短. 几何法 【变式2】由直线 上的一点向圆 引切线,则切线长取最小值时 切线所在直线的方程为 . · · P C O x y 【分析与点评】 利用待定系数法求过圆外一点引圆的切线的切线方程,要注意切线斜率存在与不存在两种情况. 注意点:过圆外一点引圆的切线有两条. 题3、已知圆与 圆 则两圆的公共弦方程为 , 公共弦长为