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6中等数学几个重要不等式与不等式的证明蔡玉书(江苏省苏州市第一中学,215006)　　(本讲适合高中)是两组正实数.则在不等式的证明中,重要不等式的使用nnna·b≥ab.是不等式证明的常用方法.∑i∑i∑iii=1i=1i=1≥1　几个重要不等式Schur不等式　设x、y、z0,r是实数.则这里所说的几个重要不等式是指:xr(x-y)(x-z)+yr(y-x)(y-z)+均值不等式　设a1,a2,…,an都是正r()()≥zz-yz-x0.数.则当r=1时,Schur不等式有几种变形:333222a1+a2+…+an≥na1a2…an,(1)x+y+z-(xy+xy+xz+n222)≥xz+yz+yz+3xyz0;当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.3(2)(x+y+z)-4(x+y+z)·柯西不等式　设a1,a2,…,an;b1,b2,()≥yz+zx+xy+9xyz0;…,bn是两组实数.则≥()()()()nnn3xyzx+y-zy+z-xz+x-y.22≥2(a)(b)(ab),iiii≤≤≤∑∑∑契比雪夫不等式　设a1a2…an,i=1i=1i=1当且仅当a=kb(i=1,2,…,n)时,等号成≤≤≤iib1b2…bn,则立.nnn≤abnab;iiii下列柯西不等式的三个变形在解题中有∑∑∑i=1i=1i=1相当大的作用.≤≤≤≥≥≥设a1a2…an,b1b2…bn,变形1　设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn则是两组正实数.则nnn≥abnab.niiii∑∑∑2i=1i=1i=1n2(ai)∑ai≥i=1∑n.2　例题选讲i=1bibi∑i=1在证明不等式时,要特别注意两点:变形2　设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn()1所给条件的综合变形与运用重要不是两组正实数.则等式的配合;nn(ai)2(2)运用其他方法或技巧与运用重要不∑a