【5年高考3年模拟】（新课标专用）2021高考数学一轮复习 试题分类汇编 导数的应用（B）.doc

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3.2导数的应用

考点一　导数与函数的单调性

1.(2020浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(　　)

答案　B　

2.(2020天津,20,14分)设a∈[-2,0],已知函数f(x)=

(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;

(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0.

证明x1+x2+x3>-.

证明　(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x≥0),

① f '1(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1<x<0时,

f '1(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减.

② f '2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时, f '2(x)<0;当x>1时, f '2(x)>0.

即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

综合①,②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

(2)由(1)知f '(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,

在区间内单调递增.

因为曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f '(x1)=f '(x2)=