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第七讲 常微分方程数值解法 （Numerical Methods for

Ordinary Differential Equations ）

一、引言

• 在许多实际问题中，往往不能找出所需要的函 数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可 以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这 样的关系式就是所谓的微分方程。

例 一曲线通过点 （1，2 ），且在该曲线上任意

点M(x,y)处的切线斜率为横坐标的两倍，求这曲线

的方程。 什么是微分方程

• 表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间 的关系的方程。（未知函数的导数必须出现） – 如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为 常微分方程； – 如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并 且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 判断下列方程是否为微分方程： x2  xy  y2  0  x  y  0 3y  c 微分方程的阶

• 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶 数。 dy  2x dx 2    x y  xy  4y  3x 4   y  2y 12y  5y sin 2x

微分方程的一般形式 1、一阶微分方程 y  f x ,y  或 F  x, y, y  0

2、二阶微分方程     y  f  x, y, y  或F  x, y, y , y   0 为什么研究常微分方程？

• 微分方程有着深刻而生动的实际背景 •在自然界中，很多时候为了刻划客观对象的 运动规律或变化规律，经常需要描述变量之 间的函数关系。 •但针对实际问题，我们通常很难直接找到这 种函数关系，却容易建立起变量所满足的微 分方程。 •如果方程可求解，则可以得到描述客观对象 运动规律或变化规律的函数关系。 初值问题 求一阶微分方程 F  x, y,