高考数学多面体的外接球专题模型总结终极版(七大模型).pdf

多面体的外接球专题模型总结终极版 题型一、长方体的外接球 √a2 +b2 +c2 1.长方体外接球半径R= 2 √ 3 2.正方体外接球半径R= a 2 3.长方体外接球的切割体 （从长方体八个顶点中任取四个顶点） （1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型 （2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直） （3）各棱相等的三棱锥（正四面体） （4）对棱相等的三棱锥 专题练习 例1.在三棱锥 中，侧棱 、 、 两两垂直， 、 、 A −BCD AB AC AD ABC ACD 2 3 6 ADB 的面积分别为 、 、 ，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为 2 2 2 （ ） A． 6 B．2 6 C．3 6 D．4 6 例2. 如图所示，已知球 的面上有四点 、 、 、 ， O A B C D DA ⊥面ABC，AB ⊥BC，DA AB BC 2 ,则球 的体积等于 ． O 例 3. 已知三棱锥A −BCD 的所有棱长都为 2 ，则该三棱锥外接球的体积为 _________ 例4.四面体A −BCD 中，AB CD 5 ，AC BD 34 ，AD BC 41 ，则四面体 A −BCD 外接球的表面积为 （ ） A．50 B．100 C．150 D．200 变式练习 1.在三棱锥P −ABC 中，PA BC 4 ，PB AC 5 ，PC AB 11 ，则三棱锥 P −ABC 的外接球的表面积为 （ ） A．8 B．12 C．26 D．24 2.已知三棱锥 的顶点都在球 的表面上，若 ， ， 两两互相垂 P −ABC O PA PB PC 直，且 ，则球 的体积为 （ ） PA PB PC 2 O A．12 3 B．8 2 C．4 3 D．4 3. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P −ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA AB 2 ，AC 4 ，三棱锥P −ABC 的四 个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为 （ ） O O A．8 B．12 C．20 D．24 4．已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在一个半径为 的球面上，且 r SA SB SC 1，AB BC AC 2 ，则球的表面积为 （ ） A．12