第一章 §1.6 基本不等式.docx
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- 2021-06-23 发布|
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§1.6 基本不等式
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.
1.基本不等式:eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中eq \f(a+b,2)叫做正数a,b的算术平均数,eq \r(ab)叫做正数a,b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(2)eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2(a,b同号).
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2 (a,b∈R).
(4)eq \f(a2+b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2 (a,b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2eq \r(p).(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值eq \f(p2,4).(简记:和定积最大)
注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正,二定,三相等”.
微思考
1.若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?
提示 不一定.若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值.
2.函数y=x+eq \f(1,x)的最小值是2吗?
提示 不是.因为函数y=x+eq \f(1,x)的定义域是{x|x≠0},当x<0时,y<0,所以函数y=x+eq \f(1,x)无最小值.
题组一 思考辨析