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直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识概述

1、直线与圆锥曲线的位置关系

  直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一.可从代数与几何两个角度考虑.

  (1)从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断,但要注意的是:对于椭圆方程来讲,所得一元方程必是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必,例如:y=kx+m代入=1中消y后整理得:(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0  ①,当k=±时,该方程为一次方程,此时直线y=kx+m与双曲线的渐近线平行,当k≠±时,方程①为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系.

  (2)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及两个相异的公共点,具体如下:

  ①直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决.

  ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.

  ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.

2、弦长公式:设弦AB端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),直线AB的斜率为k,则:

3、利用“点差法”来解决中点弦问题,其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标)

——代入(即将端点代入曲线方程)——作差(即两式相减)——得出中点坐标与斜率的关系。

4、会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所

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