考点十一函数与方程学生.docx

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考点十一 函数与方程

知识梳理

1． 函数的零点

函数零点的定义

函数 y＝ f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．

(2) 函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点三者间关系

方程 f( x)＝ 0 有实数根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y＝f(x)有零点．

2． 函数零点存在性定理

若函数 y＝ f(x)在闭区间 [a，b] 上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即

f(a) ·f(b)<0，则在区间 (a， b)内，函数 y＝ f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)＝ 0 在区间

(a， b)内至少有一个实数解．

3． 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象与零点的关系

＝ b2 －4ac

>0

＝ 0

<0

二次函数 y＝ ax2＋ bx

c(a>0) 的图象

与 x 轴的交点



两个交点



一个交点



无交点

零点个数



2



1



0

4． 二分法

对于在区间



[a，b]上连续不断且



f(a) ·f(b)<0 的函数



y＝ f( x)，通过不断地把函数



f(x) 的零点所

在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分

法．

5． 二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤

第一步，确定区间 (a， b) ，验证 f(a) ·f(b)<0；

第二步，求区间 (a， b)的中点 x1；

第三步，计算 f(x1)；

①若 f(x1)＝ 0，则 x1 就是函数的零点；

②若 f(x1)f(a)<0 ，则令 b＝ x1 (此时零点 x0 ∈(a， x1))；