第82炼求二项式的展开项.docx

第 82 炼 求二项式展开后的某项

一、基础知识：

1、二项式

a b

n

N

n

展开式

n

Cn0an

Cn1an 1b

Cn2an

2b2

C nr an r br

Cnn bn

a b

，从恒等式中我们可以

发现这样几个特点

（1） a

n

n 1

b 完全展开后的项数为

（2）展开式按照 a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，

a,b 的指数呈此消彼长

的特点。指数和为

n

（3）在二项式展开式中由于按

a 的指数进行降幂排列，所以规定“

+ ”左边的项视为 a ，

右边的项为 b ，比如：

n

n

x 的指数

x 1 与 1 x 虽然恒等，但是展开式却不同，前者按

1的指数降幂排列。如果是

n

a

b

n

降幂排列，后者按

a b ，则视为

进行展开

（4）二项展开式的通项公式

Tr 1

Cnr an r br

（注意是第 r

1

项）

2、二项式系数：项前面的

Cn0 , Cn1 ,

,Cnn 称为二项式系数，二项式系数的和为

2n

二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律） ，

所以在展开时有这样一个特征： 每个因式都必须出项， 并且只能出一项， 将每个因式所出的

对于 a

n

b 相乘，对于 an r br

项乘在一起便成为了展开时中的某项。

b 可看作是 n 个 a

意味着在这 n 个 a b 中，有 n

r 个式子出 a ，剩下 r 个式子出 b ，那么这种出法一共

有 Cnr 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组

合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数

注：（ 1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。 二项式系数是展开式通项公式中的

Cnr ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由

r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前

2x

5