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第 56 炼 数列中的整数问题

一、基础知识：

1、整数的基本性质：

（1）整数的和，差，积仍为整数

（2）整数的奇偶性：若

n 2k 1 k Z ，则称 n 为奇数；若 n

2k k Z ，则称 n 为

偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：

① 奇数

奇数

偶数

② 奇数

偶数

奇数

③ 偶数

偶数

偶数

④ 奇数

偶数

偶数

⑤ 偶数

偶数

偶数

⑥ 奇数

奇数

奇数

（3）若



a,b



Z



，且



a



b ，则



a



b 1

（4）已知



a, b



R,a



b ，若



n



Z



，且



n



a,b



，则



n 只能取到有限多个整数（也有可

能无解）

（5）若



a



Z



，称



a 能被



b 整除，则有：

b

① b a

② b 为 a 的一个因数

（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数

2、整数性质的应用：

1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得

变量的值， 通常要依赖方程， 而不等式只能解得变量的范围。 但是在整数范围内， 除了方程，

在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值 （即性质（4）），例如：若 n N ,n 2,5 ，

则 n 的取值只能是 3,4 。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不

等关系依然可以求解。

2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：

① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量