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第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一v0小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v00).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为g.参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运O动时，可将其速度v分解成纬线切向(水平方向)分量v及经线切向分量v.P设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得121212mv0mgRsinmvmv222(1)这里已取球心O处为重力势能零点.以过O的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故mvRmvRcos.(2)0由(1)式，最大速率应与的最大值相对应vmaxv(max).(3)而由(2)式，q不可能达到π2.由(1)和(2)式，q的最大值应与v0相对应，即v(max)0.[(4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得2222gRsinv0tanv0.若sin0，由上式得sin2gR22.cosv0实际上，sin=0也满足上式。由上式可知sinmax2gR22.cosmaxv0由(3)式有222v(max)2gRsinmaxv0tanmax0.(4’)]将v(max)0代入式(1)，并与式(2)联立，得222v0sinmax2gRsinmax1sinmax0.(5)以sinmax为未知量，方程(5)的一个根是sinq=0，即q=0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解.于是sinmax0.约去sinmax，方程(5)变为222gRsinmaxv0sinmax2gR0.(6)其解为222v0gRsinmax11641.(7)4